ما هو قانون ديكارت للاشارات

تعتبر قاعدة علامات ديكارت ، التي وصفها رينيه ديكارت لأول مرة في عمله La Géométrie ، تقنية للحصول على معلومات حول عدد الجذور الحقيقية الإيجابية للعديد من الحدود ، ويؤكد أن عدد الجذور الموجبة هو على الأكثر عدد من التغييرات في علامة تسلسل معاملات كثيرات الحدود (حذف معاملات الصفر) ، وأن الفرق بين هذين الرقمين هو دائم.



وهذا يعني على وجه الخصوص ، أنه إذا كان عدد التغييرات في العلامة هو صفر أو واحد ، فهناك بالضبط جذر إيجابي واحد أو واحد على التوالي.

من خلال تحول هوموجرافيك للمتغير ، يجوز للمرء استخدام قاعدة علامات ديكارت للحصول على معلومات مماثلة عن عدد الجذور في أي فاصل زمني ، هذه هي الفكرة الأساسية لنظرية بودان ، ونظرية Budan-Fourier.

من خلال تكرار تقسيم الفاصل الزمني إلى فواصل زمنية ، يحصل المرء في نهاية المطاف على قائمة بفواصل الفواصل التي تحتوي معًا على كل الجذور الحقيقية للعديد من الحدود ، وتحتوي على كل جذر حقيقي تمامًا.

تعتبر قاعدة ديكارت للعلامات والتحولات التماثلية للمتغير ، في الوقت الحاضر ، أساسًا لأسرع الخوارزميات لحساب الكمبيوتر للجذور الحقيقية متعددة الحدود.

استخدم ديكارت التحويل x → –x لاستخدام حكمه للحصول على معلومات عن عدد الجذور السلبية.

جذور إيجابية
تنص القاعدة على أنه إذا تم ترتيب شروط متعدد الحدود أحادية المتغير مع المعاملات الحقيقية بواسطة تنازلي الأس ، فإن عدد الجذور الموجبة للعدد متعدد الحدود يساوي عدد فروق الإشارة بين معاملات غير صفرية متتالية ، أو يكون أقل من ذلك برقم زوجي ، يتم حساب جذور متعددة من نفس القيمة بشكل منفصل.

جذور سلبية
كنتيجة طبيعية للقاعدة ، فإن عدد الجذور السالبة هو عدد التغييرات في العلامة بعد ضرب معاملات مصطلحات القوة الفردية بمقدار −1 ، أو أقل منها برقم زوجي ، هذا الإجراء يعادل استبدال نفي المتغير للمتغير نفسه .

على سبيل المثال ، للعثور على عدد الجذور السلبية لـ F(x)=ax^3+bx^2+cx+d ، ونحن نسأل بالتساوي كم من الجذور الإيجابية هناك لـ -x في :

x)+d=-ax^3+bx^2-cx+d=g(x).-f (-x)=a(-x)^3+b(-x)^2+c(

باستخدام قاعدة علامات ديكارت على g(x) يعطي عدد الجذور الموجبة xi في g، و منذg(x) = f (-x) تعطي عدد الجذور الموجبة (-xi) لـ f، وهو نفس عدد الجذور السالبة xi لـf .

مثال جذور حقيقية
كثير الحدود

f(x)=+x^{3}+x^{2}-x-1

يحتوي على تغيير علامة واحدة بين المصطلحين الثاني والثالث (تسلسل أزواج من علامات المتعاقبة هو + → + ، + → – ، – → -).

لذلك لدى هذا المثال بالضبط جذر واحد إيجابي ، لاحظ أن علامة المعامل الرئيسي يجب أخذها في الاعتبار ، للعثور على عدد الجذور السالبة ، قم بتغيير علامات معاملات المصطلحات ذات الأسس الفردية ، أي تطبيق قاعدة علامات ديكارت على كثير الحدود f(-x)، للحصول على متعدد الحدود الثاني

f(-x)=-x^{3}+x^{2}+x-1

يحتوي كثير الحدود على تغييرين في العلامة (تسلسل أزواج من العلامات المتعاقبة هو – → + ، + + + + ، + → -) ، وهذا يعني أن هذا الحد متعدد الحدود الثاني له جذور موجبة أو صفر ؛ وبالتالي متعدد الحدود الأصلي له جذور سلبية أو اثنين.

في الواقع ، فإن عامل كثير الحدود الأولى هو

وبالتالي فإن الجذور هي −1 (مرتين) و +1 (مرة واحدة).

إن عامل كثير الحدود الثاني هو f(x)=(x+1)^{2}(x-1) ، لذلك فإن الجذور هي (twice) and +1 (once) 1- .

كم أن عامل كثير الحدود الثاني هو (f(-x)=-(x-1)^{2}(x+1 .

حتى هنا فإن الجذور هي (twice) and −1 (once)+ 1 ، ونفي جذور متعدد الحدود الأصلي .

جذور غير حقيقية
أي درجة متعددة الحدود لها جذور n بالضبط في الطائرة المعقدة ، إذا تم حسابها وفقًا للتعددية.

إذا كان (f (x متعدد الحدود وليس له الجذر عند 0 (والذي يمكن تحديده عن طريق التفتيش) فإن الحد الأدنى لعدد الجذور غير الحقيقية يساوي n-(p+q) ، حيث تشير p إلى الحد الأقصى لعدد الجذور الموجبة ، تشير q إلى الحد الأقصى لعدد الجذور السلبية (يمكن العثور على كلاهما باستخدام قاعدة علامات ديكارت) ، وتشير n إلى درجة المعادلة.

مثال: معاملات صفر ، جذور غير حقيقية .

كثير الحدود .

f(x) = x^3-1

لديه تغيير علامة واحدة ، وبالتالي فإن الحد الأقصى لعدد الجذور الحقيقية الإيجابية هي -1 من f(-x) = -x^3-1 .

يمكننا أن نقول أن كثير الحدود ليس له جذور سلبية حقيقية ، وبالتالي فإن الحد الأدنى لعدد الجذور غير الحقيقية 3 – (1+0) = 2 .

نظرًا لأنه يجب أن تحدث جذور غير حقيقية ذات كثير الحدود مع معاملات حقيقية في أزواج متزامنة ، يمكننا أن نرى أن x3 – 1 له جذران غير حقيقيين وجذر واحد حقيقي (وإيجابي).

حالة خاصة
يحدث طرح مضاعفات 2 فقط من العدد الأقصى للجذور الموجبة ، لأن كثير الحدود قد يكون له جذور غير واقعية ، والتي تأتي دائمًا في أزواج لأن القاعدة تنطبق على كثيرات الحدود التي تكون معاملاتها حقيقية.

وبالتالي إذا كان من المعروف أن كثير الحدود له جذور حقيقية ، فإن هذه القاعدة تسمح للمرء أن يجد العدد الدقيق للجذور الإيجابية والسلبية ، نظرًا لأنه من السهل تحديد تعدد الصفر كجذر ، يمكن تحديد علامة جميع الجذور في هذه الحالة .

التعميمات
إذا كان متعدد الحدود الحقيقي P له جذور موجبة حقيقية محسوبة بتعدد ، فلكل من a> 0 هناك على الأقل k تغييرات في علامة في تسلسل معاملات سلسلة تايلور للدالة (eaxP(x لحد كبير بما فيه الكفاية ، هناك بالضبط مثل هذه التغييرات من علامة .

في سبعينيات القرن العشرين طور أسكولد جورجيفيتش خوفانسكي نظرية عدد قليل من الشخصيات التي تعمم حكم ديكارت .

يمكن اعتبار قاعدة العلامات على أنها تشير إلى أن عدد الجذور الحقيقية لمتعدد الحدود يعتمد على تعقيد كثير الحدود ، وأن هذا التعقيد يتناسب مع عدد المونوميات الموجودة فيه ، وليس على درجتها .[1]

أظهر خوفانسكي أن هذا ينطبق ليس فقط على كثيرات الحدود ولكن أيضًا على التوليفات الجبرية للعديد من الوظائف التجاوزي ، ما يسمى Pfaffian functions .

من هو رينيه ديكارت
كان رينيه ديكارت (1596-1650) عالم رياضيات مبدع من الدرجة الأولى ، وهو مفكر علمي مهم ، وعالم الميتافيزيقا الأصلية . خلال حياته ، كان عالم رياضيات أولاً ، و عالم طبيعة أو “فيلسوف طبيعة” في المرتبة الثانية ، وثالثًا في الميتافيزيقيا .

طور ديكارت التقنيات التي جعلت الهندسة الجبرية (أو “التحليلية”) ممكنة ، أما في الفلسفة الطبيعية ، يمكن أن يُنسب إليه العديد من الإنجازات المحددة: المشارك لقانون انكسار الجيب ، ومطور لحساب تجريبي مهم لقوس قزح ، ومقترح حساب طبيعي لتكوين الأرض والكواكب

المصدر : منتديات عبق الياسمين

 

لا يمكنكم مشاهده باقي المشاركة لأنك زائر ...
فإذا كنت مشترك مسبقا معنا  فقم بتسجيل دخول بعضويتك للمتابعة وإذا لم تكن  فيمكنك تسجيل عضوية جديدة مجانا ً ( من هنا )

اسم العضوية		حفظ معلومات الدخول
كلمة المرور

لا يمكنكم مشاهده باقي المشاركة لأنك زائر ...
فإذا كنت مشترك مسبقا معنا  فقم بتسجيل دخول بعضويتك للمتابعة وإذا لم تكن  فيمكنك تسجيل عضوية جديدة مجانا ً ( من هنا )

اسم العضوية		حفظ معلومات الدخول
كلمة المرور

لا يمكنكم مشاهده باقي المشاركة لأنك زائر ...
فإذا كنت مشترك مسبقا معنا  فقم بتسجيل دخول بعضويتك للمتابعة وإذا لم تكن  فيمكنك تسجيل عضوية جديدة مجانا ً ( من هنا )

اسم العضوية		حفظ معلومات الدخول
كلمة المرور

لا يمكنكم مشاهده باقي المشاركة لأنك زائر ...
فإذا كنت مشترك مسبقا معنا  فقم بتسجيل دخول بعضويتك للمتابعة وإذا لم تكن  فيمكنك تسجيل عضوية جديدة مجانا ً ( من هنا )

اسم العضوية		حفظ معلومات الدخول
كلمة المرور

لا يمكنكم مشاهده باقي المشاركة لأنك زائر ...
فإذا كنت مشترك مسبقا معنا  فقم بتسجيل دخول بعضويتك للمتابعة وإذا لم تكن  فيمكنك تسجيل عضوية جديدة مجانا ً ( من هنا )

اسم العضوية		حفظ معلومات الدخول
كلمة المرور

لا يمكنكم مشاهده باقي المشاركة لأنك زائر ...
فإذا كنت مشترك مسبقا معنا  فقم بتسجيل دخول بعضويتك للمتابعة وإذا لم تكن  فيمكنك تسجيل عضوية جديدة مجانا ً ( من هنا )

اسم العضوية		حفظ معلومات الدخول
كلمة المرور

لا يمكنكم مشاهده باقي المشاركة لأنك زائر ...
فإذا كنت مشترك مسبقا معنا  فقم بتسجيل دخول بعضويتك للمتابعة وإذا لم تكن  فيمكنك تسجيل عضوية جديدة مجانا ً ( من هنا )

اسم العضوية		حفظ معلومات الدخول
كلمة المرور

لا يمكنكم مشاهده باقي المشاركة لأنك زائر ...
فإذا كنت مشترك مسبقا معنا  فقم بتسجيل دخول بعضويتك للمتابعة وإذا لم تكن  فيمكنك تسجيل عضوية جديدة مجانا ً ( من هنا )

اسم العضوية		حفظ معلومات الدخول
كلمة المرور

لا يمكنكم مشاهده باقي المشاركة لأنك زائر ...
فإذا كنت مشترك مسبقا معنا  فقم بتسجيل دخول بعضويتك للمتابعة وإذا لم تكن  فيمكنك تسجيل عضوية جديدة مجانا ً ( من هنا )

اسم العضوية		حفظ معلومات الدخول
كلمة المرور